今日頭條最新數(shù)學(xué)題趣味解答

花香鳥語 2025-01-13 新聞中心 221 次瀏覽 0個評論

在今日頭條上，數(shù)學(xué)題目的討論總是能引起廣大讀者的興趣和關(guān)注，我將為大家解答幾道最新的數(shù)學(xué)題，這些題目涵蓋了從中學(xué)幾何到三角函數(shù)等多個領(lǐng)域，希望通過這些題目的解答，能夠幫助大家更好地理解數(shù)學(xué)，提高解題能力。

中學(xué)幾何題

題目：在△ABC中，點D是邊BC上的點且CD=2BD，∠ABC=45度，∠ADC=60度，求∠ACD的度數(shù)。

解答：

這道題目看似圖形簡單，但如果沒有找到正確的思路，還是很難做出來的，我們可以按照以下步驟來求解：

1、設(shè)定已知條件：

- 點D在BC上，CD=2BD

- ∠ABC=45度，∠ADC=60度

2、利用正弦定理：

- 設(shè)∠BDC=θ，則∠BDA=180°-θ-60°=120°-θ

- 應(yīng)用正弦定理在△BDC中：

\frac{BD}{\sin 60°} = \frac{CD}{\sin \angle DBC}

由于CD=2BD，

\frac{BD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2BD}{\sin \angle DBC} \implies \sin \angle DBC = \sqrt{3}

顯然，這是不可能的，因為正弦函數(shù)的值域是[-1,1]，我們需要用余弦定理。

3、利用余弦定理：

- 在△BDC中，設(shè)BD=x，則CD=2x，BC=3x

- 應(yīng)用余弦定理：

BD^2 = CD^2 + BC^2 - 2 \cdot CD \cdot BC \cdot \cos \theta

x^2 = (2x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3x \cdot \cos \theta

x^2 = 4x^2 + 9x^2 - 12x^2 \cos \theta

x^2 = 13x^2 - 12x^2 \cos \theta

12x^2 \cos \theta = 12x^2

\cos \theta = 1 \implies \theta = 0°

顯然，θ=0°是不可能的，因為∠BDC不可能為0°，這里我們注意到，由于∠BDC和∠BDA的和為120°，且∠BDC和∠BDA都是三角形的內(nèi)角，所以它們都不能為0°或180°，我們需要重新考慮。

4、重新考慮角度關(guān)系：

- 由于∠BDC和∠BDA的和為120°，且∠BDC和∠BDA都是銳角或鈍角，我們可以設(shè)∠BDC=α，∠BDA=120°-α

- 在△BDC中，利用正弦定理：

\frac{BD}{\sin 60°} = \frac{CD}{\sin \angle DBC} \implies \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2x}{\sin \angle DBC} \implies \sin \angle DBC = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

由于∠DBC是銳角，DBC=60°。

5、求解∠ACD：

- 由于∠DBC=60°，且∠ABC=45°，ABD=15°

- 在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ABC=180°-15°-45°=120°

- 由于∠ADC=60°，ACD=180°-∠ADC-∠DAC=180°-60°-∠DAC

- 由于∠DAC=∠BAD-∠BAC=120°-45°=75°，ACD=180°-60°-75°=45°

∠ACD的度數(shù)為45°。

木棒構(gòu)成多邊形問題

題目：有一個由很多木棒構(gòu)成的集合，每個木棒有對應(yīng)的長度，請問能否用集合中的這些木棒以某個順序首尾相連構(gòu)成一個面積大于0的簡單多邊形且所有木棒都要用上？初始集合是空的，有兩種操作，要么給集合添加一個長度為L的木棒，要么刪去集合中已經(jīng)有的某個木棒，每次操作結(jié)束后你都需要告知是否能用集合中的這些木棒構(gòu)成一個簡單多邊形。

解答：

這道題目是一個典型的貪心算法問題，問題的本質(zhì)其實就是給定n條邊，問能否構(gòu)成n邊形，給定n條邊，問能否構(gòu)成n邊形的條件是任意n-1條邊的長度和大于另一條邊的長度，我們可以按照以下步驟來解答：

1、初始化變量：

- 用一個數(shù)組或列表來存儲當(dāng)前集合中的木棒長度。

- 用一個變量來記錄當(dāng)前集合中木棒的總長度。

- 用一個布爾變量來記錄當(dāng)前集合中的木棒是否能構(gòu)成一個簡單多邊形。

2、處理操作：

- 對于每次操作，首先讀取操作類型和木棒長度。

- 如果操作類型是插入（i=1），則將木棒長度添加到集合中，并更新總長度和是否能構(gòu)成多邊形的布爾變量。

- 檢查當(dāng)前集合中的木棒是否能構(gòu)成一個簡單多邊形：如果任意n-1條邊的長度和大于另一條邊的長度，則能構(gòu)成簡單多邊形。

- 如果操作類型是刪除（i=2），則從集合中刪除指定長度的木棒，并更新總長度和是否能構(gòu)成多邊形的布爾變量。

- 同樣檢查當(dāng)前集合中的木棒是否能構(gòu)成一個簡單多邊形。

3、輸出結(jié)果：

- 對于每次操作結(jié)束后，輸出當(dāng)前集合中的木棒是否能構(gòu)成一個簡單多邊形。

以下是Java代碼實現(xiàn)：

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        
        int n = scanner.nextInt();
        List<Integer> sticks = new ArrayList<>();
        boolean canFormPolygon = false;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int operationType = scanner.nextInt();
            int length = scanner.nextInt();
            
            if (operationType == 1) {
                sticks.add(length);
                Collections.sort(sticks);
                canFormPolygon = canFormSimplePolygon(sticks);
            } else if (operationType == 2) {
                sticks.remove(Integer.valueOf(length));
                Collections.sort(sticks);
                canFormPolygon = canFormSimplePolygon(sticks);
            }
            
            System.out.println(canFormPolygon ? "Yes" : "No");
        }
        
        scanner.close();
    }
    
    private static boolean canFormSimplePolygon(List<Integer> sticks) {
        int sum = 0;
        for (int stick : sticks) {
            sum += stick;
        }
        
        int maxStick = Collections.max(sticks);
        int remainingSum = sum - maxStick;
        
        return remainingSum > maxStick;
    }
}

三角函數(shù)解幾何題

題目：三角形定角對定邊，求兩條動邊組成的一次多項式的最大值。

解答：

這道題目可以通過三角函數(shù)的方法來解決，我們可以把C點看成三角形ABC外接圓上的動點，并利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)來求解。

1、設(shè)定已知條件：

- 設(shè)∠A=α，則∠B=135°-α（因為三角形內(nèi)角和為180°）。

2、應(yīng)用正弦定理：

- 根據(jù)正弦定理，我們有：

\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin (135°-α)} = \frac{BC}{\sin α}

- 代入已知條件，得到：

AC = 4\sqrt{2} \sin (135°-α) = 4\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos α + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin α \right) = 4\cos α + 4\sin α

BC = 4\sqrt{2} \sin α